О позвоночниках, омегах и сюрреализме

[Diary best]

Пишет  loony_spectre:

Я нашел совершенно феерическую статью о так называемых сюрреальных числах. Прямо очень дайровская математика - тут вам и позвоночник (причем бесконечный позвоночник!), и омеги, и даже определенная доля ксенофилии

Вот несколько цитат для затравки. Саму статью поместить здесь не смогу - там математическая разметка, так что скачать ее можно по ссылке: yadi.sk/i/Xas-C11NRCp23g

Как работают сюрреальные числа? Представьте, как рекомендуют нам специалисты по осанке, что к вашей макушке привязана верёвка, и вы с неё свисаете. Чувствуете, как ваши позвонки выстраиваются в красивый прямой ряд? А теперь представьте, что ваш позвоночник не заканчивается черепом с одной стороны и копчиком с другой, а имеет бесконечную длину — в одну сторону уходит от головы дальше самой далёкой звезды, а в другую — под ноги, сквозь землю и так далее. Представили? Хорошо. А теперь представьте, что у вас проблема: спина нестерпимо зачесалась, а вы не можете дотянуться и почесать её сами.

«Я почешу тебе спину, если ты почешешь мою, - предлагает дружелюбный инопланетянин и ставит вам палец на позвонок между лопатками. - Скажи только, где».

«Вверх», - говорите вы. Инопланетянин поднимается на один позвонок вверх, но чешется где-то выше. «Вверх, вверх, вверх, вверх, вверх», - повторяете вы, и каждый раз инопланетянин поднимает палец ещё на позвонок вверх. После 40 повторений вы чувствуете, что палец подобрался уже достаточно близко, но вот на сорок четвёртом позвонке понимаете, что уже слишком высоко. Чешется у вас между 43-м и 44-м позвонками.

«Вниз», - говорите вы. Инопланетянин опускает палец на полпозвонка, между 43-м и 44-м позвонками. К сожалению, он опять проскочил мимо. «Вверх», - командуете вы. Он поднимает палец на четверть позвонка, на полпути между прежним положением и 44-м позвонком, и оказывается на трех четвертях пути между 43-м и 44-м позвонками. «Вот, прямо здесь», - говорите вы, и инопланетянин чешет вам спину. Хорошо-о-о!

...Любое рациональное число можно записать с помощью бесконечно повторяющейся последовательности десятичных знаков; точно так же можно обозначить любую не двоично рациональную точку на позвоночнике, дав инопланетянину уникальную бесконечно повторяющуюся последовательность указаний «вверх» или «вниз». (И точно так же, как вы можете записать иррациональные действительные числа с помощью бесконечной неповторяющейся последовательности десятичных знаков, можно обозначить любую иррациональную действительную точку на позвоночнике с помощью бесконечной неповторяющейся последовательности указаний «вверх» или «вниз».) Но не все бесконечно повторяющиеся последовательности «вверх» и «вниз» обозначают рациональные числа.

Давайте, например, предположим, что спина у вас чешется очень, очень высоко, в конце вашего бесконечно длинного позвоночника. «Вверх, - говорите вы инопланетянину. - Вверх, вверх, вверх, вверх, вверх». Вы целую вечность повторяете «Вверх», и, когда вечность заканчивается, инопланетянин чешет вам спину. Эта точка называется омега (и обозначается греческой буквой ω, точно так же, как ординальное число Кантора, описывающее множество всех положительных целых чисел. Это не рациональное и не действительное число — оно слишком большое. Омега — это самое простое сюрреальное число, большее, чем все действительные числа.

Теперь давайте предположим, что спина у вас чешется буквально чуть-чуть выше нуля. (Нулём, как мы помним, у нас считается точка между лопатками, куда изначально упёрся пальцем инопланетянин.) «Вверх», - говорите вы. Палец перемещается к первому позвонку — это очень, очень далеко. «Вниз, - говорите вы, - вниз, вниз, вниз». Вы раз за разом говорите «вниз», и каждый раз палец инопланетянина приближается все ближе к нулю, но так и не достает до точки, где чешется. Вы повторяете «Вниз» целую вечность, и, когда вечность заканчивается, инопланетянин чешет спину в точке, которая выше нуля, но меньше любого возможного действительного числа. Крускал называет эту точку йота (ι; это простейшее бесконечно малое сюрреальное число, самое простое число, которое больше нуля, но меньше всех положительных действительных чисел.

...А теперь спина чешется уже у инопланетянина. Он напоминает вам об обещании. Но его анатомия намного сложнее вашей. Во-первых, у него бесконечно много бесконечно длинных позвоночников. «Вверх, вверх, вверх», - говорит он вам целую вечность, и когда вечность заканчивается, вы добираетесь до первой омега-точки инопланетянина. Вы уже готовы почесать ему спину, но инопланетянин вас останавливает. «Нет, не совсем тут. Еще на позвонок выше».

Чтобы добраться до ω, вы преодолели все позвонки на первом позвоночнике инопланетянина, так что, выполнив это указание, вы уже оказываетесь на следующем. (Собственно, полезно будет представить омега-точку первого позвоночника как нулевую точку второго позвоночника.) Точка, где у инопланетянина чешется спина, - это первый положительный позвонок на новом позвоночнике. А теперь представьте, что после того, как вы добрались до ω, инопланетянин сказал бы «вниз»: это первый отрицательный позвонок на втором позвоночнике. Если бы инопланетянин сказал вам «вверх» ω раз, потом еще ω раз и еще один раз, вы бы добрались до первого положительного позвонка на третьем позвоночнике. Один «вверх» и один «вниз» дают вам 1/2; точно так же ω «вверх», а затем ω «вниз» дают половину омеги. Наконец, ω «вверх», потом еще ω «вверх», потом еще ω «вверх», и так ω раз — это записывается , - отправит ваш палец выше, чем все позвонки всех ω позвоночников на спине инопланетянина.



Кстати, вот тут что ещё: у инопланетянина ω тел, на каждом из которых по ω спин. Хотя нет, на самом деле он состоит из ω популяций ω тел, у каждого из которых по ω спин. А еще есть ω-множества ω популяций… ну, в общем, вы поняли. Позвоночник инопланетянина не закончится никогда.

Свое | Не Бест? Пришли лучше!

Вопрос: Бест?

1. Да!		83	(100%)
Всего:		83

@темы: Свое

Comments

[СолнЦ]

Нифигаськи не понятно, но забавно)

[айронмайденовский]

Математики не люди и курят что-то очень забористое!

[Ташик]

[Nineweh Lawson]

айронмайденовский, а чо сразу курят-то? Может, мы и без допингов поехавшие своеобразно мыслим ))

[ZhA]

Самое интересное во всём этом, что за решение таких чисто гипотетических задач, не имеющих никакого, даже отдалённого, отношения к нашей текущей реальности, дают иногда премии миллионами.

[Ben Sheamus]

Что это было?!!!!

[ZhA]

В статье по ссылке хотя бы понятно, откуда ноги растут - два пятилетних мальчика поспорили, существует ли самое большое число.

[~Lady_Loki~]

Мой мозг сломался...

[Bats]

какая прелесть

[Alpha_Ultra]

Эта точка называется омега

Крускал называет эту точку йота

ага, значит у бесконечности всё же есть конец.

Позвоночник инопланетянина не закончится никогда.

а, нет, показалось.

[Crazy Sage]

По-моему на первом курсе матмеха это проходят в разделе теории множеств, о том, что одна бесконечность может быть бесконечнее другой бесконечности. Но надо внимательно почитать статью)

[Шиято]

Alpha_Ultra, бесконечность никогда не заканчивается. Но путь по кругу тоже никогда не заканчивается, он бесконечен. При этом сам круг вполне "осязаем" и "конечен", у пути, как траектории движения, есть границы в пространстве, но, как у движения, нет границ во времени. В общем, каждая бесконечность, вечность и так далее, она на самом деле конечна, главное найти нужный "ракурс".
Вообще математика - это целая философия. Если изучать ее как компьютер, ничего не выйдет. Компьютер слишком "узколобый".

[Шиято]

Есть мозголомательный пример. В идеальном бесконечном океане, в условный центр попала капелька. И пошел идеальный круг на воде. Он расширяется и расширяется и расширяется до бесконечности. Выносит мозг, если пытаться это представить.
Меняем ракурс.
Первый факт: Было начало в пространстве и времени, где и когда упала капля.
Второй факт: Поскольку океан идеальный, волна пошла без ускорения и замедления на одинаковой, вполне измеримой скорости.
Всего два этих факта примиряют любой мозг с фактом, что океан и соответственно волна, идущая по нему, бесконечны. )))
Может у кого-то и не примиряет. Тогда вам просто нужно больше фактов, чтобы осознать бесконечность.

[loony_spectre]

Шиято, в оригинальной статье это выражается фразой "...и когда вечность заканчивается"

[Шиято]

loony_spectre, об этом я и говорю. Что по определению вечность не заканчивается. Что имел в виду автор, это филосовский вопрос.

[Igrad]

Матанализ для массажистов? Бесконечно малые и бесконечно большие нужны для предельных переходов. Нафига Ир. числа сюда прилепили? Ир. число не бесконечное оно не может быть представлено в виде дробей простых чисел. В общем-то ничего особого. Название Рац и ирац как по мне неудачное.

[emercy]

Шиято, попыталась представить дождь над бесконечным океаном, теперь пытаюсь вывихнуть мозг обратно))

[Шиято]

emercy, на самом деле я изучала в институте высшую математику. Там была речь о бесконечностях и нулях и прочем. Я помню, что "условная" бесконечность, которая меньше другой бесконечности на самом деле не бесконечность. Просто в сравнении с самой малой частицей известной физике наш Земной шар покажется бесконечным. Чтобы описать из скольких этих частиц состоит Земля потребуется космически огромное число, которое нельзя записать, даже если доска будет размером с галактику в которой находится Земля.

Чтобы решить некоторые математические задачи эту самую частицу принимают за нуль, когда рассматривают что-то неизмеримо больше этой частицы. И наоборот Землю могут принять за бесконечность, когда речь зайдет об элементарных частицах. Все зависит от условий, которые имеют значения для решения данной задачи.

Например, мы в старших классах для решения задачи приняли за факт что параллельные прямые пересекаются )))

[emercy]

мы в старших классах для решения задачи приняли за факт что параллельные прямые пересекаются )))
Мы только для доказательства от противного.
А вообще, что в школе, что в институте теории было мало, все больше прикладные вещи. и те я тоже не все помню))
В конкретном примере я, видимо, путаю физику и математику. Усилятся ли волны от от нескольких капель или погасят друг друга при таких условиях?

[Шиято]

emercy, Это была математика. Учительница предложила нам представить, что мы в уже учимся в институте. Вот как раз если параллельные прямые находятся очень близко, и расстояние между ними можно принять за нуль, то эти прямые сливаются в одну, но при этом остаются отдельными прямыми. Т.е. опять же "условно пересекаются" для упрощения задачи. )) Там кажется еще что-то с векторами было связано. Но я точно уже не помню.

[Шиято]

emercy, идеальный океан математический. Поэтому дождь тоже идеальный, круги друг друга не гасят. В физике нет ничего абсолютного и идеального. Только на время принимается как идеальное, опять же для упрощения задачи, иначе ничего не просчитаешь даже примерно.
То, что очень маленькую величину, стремящуюся к нулю принимают на нуль, или огромную в огромной степени принимают за бесконечность в математике. Это как раз прикладная математика. Если не делать такие обобщения, упрощения и странные умозаключения, то некоторые задачи останутся нерешаемыми на практике.

[loony_spectre]

Шиято, бесконечности действительно бывают разные, но это уже надо лезть в трансфинитные ординальные числа. Омега (порядок множества натуральных чисел) - как раз первое из них.