О позвоночниках, омегах и сюрреализме

[the-best-of-thebest]

Пишет  loony_spectre:

Я нашел совершенно феерическую статью о так называемых сюрреальных числах. Прямо очень дайровская математика - тут вам и позвоночник (причем бесконечный позвоночник!), и омеги, и даже определенная доля ксенофилии

Вот несколько цитат для затравки. Саму статью поместить здесь не смогу - там математическая разметка, так что скачать ее можно по ссылке: yadi.sk/i/Xas-C11NRCp23g

Как работают сюрреальные числа? Представьте, как рекомендуют нам специалисты по осанке, что к вашей макушке привязана верёвка, и вы с неё свисаете. Чувствуете, как ваши позвонки выстраиваются в красивый прямой ряд? А теперь представьте, что ваш позвоночник не заканчивается черепом с одной стороны и копчиком с другой, а имеет бесконечную длину — в одну сторону уходит от головы дальше самой далёкой звезды, а в другую — под ноги, сквозь землю и так далее. Представили? Хорошо. А теперь представьте, что у вас проблема: спина нестерпимо зачесалась, а вы не можете дотянуться и почесать её сами.

«Я почешу тебе спину, если ты почешешь мою, - предлагает дружелюбный инопланетянин и ставит вам палец на позвонок между лопатками. - Скажи только, где».

«Вверх», - говорите вы. Инопланетянин поднимается на один позвонок вверх, но чешется где-то выше. «Вверх, вверх, вверх, вверх, вверх», - повторяете вы, и каждый раз инопланетянин поднимает палец ещё на позвонок вверх. После 40 повторений вы чувствуете, что палец подобрался уже достаточно близко, но вот на сорок четвёртом позвонке понимаете, что уже слишком высоко. Чешется у вас между 43-м и 44-м позвонками.

«Вниз», - говорите вы. Инопланетянин опускает палец на полпозвонка, между 43-м и 44-м позвонками. К сожалению, он опять проскочил мимо. «Вверх», - командуете вы. Он поднимает палец на четверть позвонка, на полпути между прежним положением и 44-м позвонком, и оказывается на трех четвертях пути между 43-м и 44-м позвонками. «Вот, прямо здесь», - говорите вы, и инопланетянин чешет вам спину. Хорошо-о-о!

...Любое рациональное число можно записать с помощью бесконечно повторяющейся последовательности десятичных знаков; точно так же можно обозначить любую не двоично рациональную точку на позвоночнике, дав инопланетянину уникальную бесконечно повторяющуюся последовательность указаний «вверх» или «вниз». (И точно так же, как вы можете записать иррациональные действительные числа с помощью бесконечной неповторяющейся последовательности десятичных знаков, можно обозначить любую иррациональную действительную точку на позвоночнике с помощью бесконечной неповторяющейся последовательности указаний «вверх» или «вниз».) Но не все бесконечно повторяющиеся последовательности «вверх» и «вниз» обозначают рациональные числа.

Давайте, например, предположим, что спина у вас чешется очень, очень высоко, в конце вашего бесконечно длинного позвоночника. «Вверх, - говорите вы инопланетянину. - Вверх, вверх, вверх, вверх, вверх». Вы целую вечность повторяете «Вверх», и, когда вечность заканчивается, инопланетянин чешет вам спину. Эта точка называется омега (и обозначается греческой буквой ω, точно так же, как ординальное число Кантора, описывающее множество всех положительных целых чисел. Это не рациональное и не действительное число — оно слишком большое. Омега — это самое простое сюрреальное число, большее, чем все действительные числа.

Теперь давайте предположим, что спина у вас чешется буквально чуть-чуть выше нуля. (Нулём, как мы помним, у нас считается точка между лопатками, куда изначально упёрся пальцем инопланетянин.) «Вверх», - говорите вы. Палец перемещается к первому позвонку — это очень, очень далеко. «Вниз, - говорите вы, - вниз, вниз, вниз». Вы раз за разом говорите «вниз», и каждый раз палец инопланетянина приближается все ближе к нулю, но так и не достает до точки, где чешется. Вы повторяете «Вниз» целую вечность, и, когда вечность заканчивается, инопланетянин чешет спину в точке, которая выше нуля, но меньше любого возможного действительного числа. Крускал называет эту точку йота (ι это простейшее бесконечно малое сюрреальное число, самое простое число, которое больше нуля, но меньше всех положительных действительных чисел.

...А теперь спина чешется уже у инопланетянина. Он напоминает вам об обещании. Но его анатомия намного сложнее вашей. Во-первых, у него бесконечно много бесконечно длинных позвоночников. «Вверх, вверх, вверх», - говорит он вам целую вечность, и когда вечность заканчивается, вы добираетесь до первой омега-точки инопланетянина. Вы уже готовы почесать ему спину, но инопланетянин вас останавливает. «Нет, не совсем тут. Еще на позвонок выше».

Чтобы добраться до ω, вы преодолели все позвонки на первом позвоночнике инопланетянина, так что, выполнив это указание, вы уже оказываетесь на следующем. (Собственно, полезно будет представить омега-точку первого позвоночника как нулевую точку второго позвоночника.) Точка, где у инопланетянина чешется спина, - это первый положительный позвонок на новом позвоночнике. А теперь представьте, что после того, как вы добрались до ω, инопланетянин сказал бы «вниз»: это первый отрицательный позвонок на втором позвоночнике. Если бы инопланетянин сказал вам «вверх» ω раз, потом еще ω раз и еще один раз, вы бы добрались до первого положительного позвонка на третьем позвоночнике. Один «вверх» и один «вниз» дают вам 1/2; точно так же ω «вверх», а затем ω «вниз» дают половину омеги. Наконец, ω «вверх», потом еще ω «вверх», потом еще ω «вверх», и так ω раз — это записывается , - отправит ваш палец выше, чем все позвонки всех ω позвоночников на спине инопланетянина.



Кстати, вот тут что ещё: у инопланетянина ω тел, на каждом из которых по ω спин. Хотя нет, на самом деле он состоит из ω популяций ω тел, у каждого из которых по ω спин. А еще есть ω-множества ω популяций… ну, в общем, вы поняли. Позвоночник инопланетянина не закончится никогда.

Свое | Не Бест? Пришли лучше!